Legyen $a=1+\sqrt{5}$ . Mennyi
 
Végeredmény: 4
Az $a$ minimálpolinomja $a^2-2a-4$ , ahonnan az $a$ hatványai: $a^2=2a+4,\ a^3=8a+8,\ a^4=8(3a+4).$ Innen$ \root 3\of{a}\cdot \root 6 \of {3a+4}=\root 6 \of {a^6/8}=\sqrt{a^2/2}=\sqrt{a+2}. $ Így $S = (4-a)(\sqrt{a+2})^2=(4-a)(a+2)=4.$
1. Megjegyzés Ez azért csak utólag ilyen egyszerű, jól el is lehet bonyolítani. Hatodik hatványra emelni például csak elvileg egyszerű, a kapott 12-edfokú polinomot még ki kell értékelni az $a$ helyen.
2. Megjegyzés Gyorsabb a számolás ha $t=a/2$ -vel dolgozunk. Ekkor ugyanis $t^2=t+1.$
3. Megjegyzés Haladó algebra nélkül is sejthető, hogy ha az eredmény szép lesz, akkor a köbgyököt tartalmazó tagok együtt ki kell ejtsék a köbgyököt. Tehát szeretnénk, ha $a^2(3a+4)$ teljes köb lenne. A $\mathbb Q\left[ \sqrt 5\right]$ számtestben adott egy (multiplikatív) norma: $|| a + b\sqrt 5 || = a^2 - 5b^2$ . Ezt kiszámolva $||a^2(3a+4)|| = 64$ , tehát ha ez teljes köb ebben a testben, akkor a köbgyök normája biztosan $ 4$ . Ráadásul algebrai egész köbgyöke algebrai egész, tehát ha a számtestben van, akkor $a + b\cdot \frac{1 +\sqrt 5}2$ alakú, ahol $a$ és $b$ egész. Így már nem lehetetlen megtalálni a köbgyököt.
4. Megjegyzés Egy másik lehetőség abból kiindulni, hogy a feladat helyes (vagyis az eredmény egész szám), és ügyes becslésekkel belátni, hogy $ 3$ és $ 5$ közé esik. Még ravaszabb elképzelés az, hogy $(4-a) \cdot x$ egész szám, ami akkor lehet, ha $x = \frac k4 \cdot (2+a)$ , ahol $k$ egész. Tehát eleve tudjuk, hogy a két utolsó tényezőből $\sqrt{2+a}$ racionálisszorosát akarjuk végül kapni, ami megkönnyíti a számolást.