1. találat: ARANYD 2013/2014 Haladó I. kategória 2. forduló 2 feladat Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20132014_h1k2f2f ) Határozzuk meg azokat a négyjegyű számokat, ahol az első két számjegyből álló szám és az utolsó két számjegyből álló szám összegének négyzete egyenlő az eredeti számmal! Témakör: *Számelmélet (oszthatóság, halmaz) (Azonosító: AD_20132014_k1kdf2f ) a.) Adjon meg egy olyan különböző pozitív egész számokból álló 10 elemű halmazt, amelyre teljesül, hogy bármely 6 elemének összege nem osztható hattal. b.) Bizonyítsa be, hogy nem létezik olyan különböző pozitív egész számokból álló 11 elemű halmaz, amelyxre teljesül, hogy bármely 6 elemének összege nem osztható hattal. Témakör: *Kombinatorika (számjegy) (Azonosító: AD_20142015_h1k1f5f ) Hány olyan szám van 0 és 9999 között, amelyikben több 2-es van a jegyek között, mint 1-es? (Pl. 2012 ilyen, de 2014 nem.) Témakör: *Kombinatorika (sorozat, lépcső) (Azonosító: AD_20142015_h2k1f2f ) Hányféle módon lehet felmenni egy 25 lépcsőfokból álló lépcsőn, ha mindig csak 2-t vagy 3-at lépünk? (Más esetnek tekintjük azt, ha az alján lépünk 3-at, utána mindig 2-t, vagy az elejétől kettesével lépünk és a végén 3-at.) Témakör: *Számelmélet (LNKO) (Azonosító: AD_20142015_k1k2f3f, AD_20142015_k2k2f3f, AD_20142015_k3k1f3f ) Jelölje (a; b) az a és b pozitív egész számok legnagyobb közös osztóját. Mennyi az alábbi 2015-tagú összeg értéke: $ (1; 2015) + (2; 2015) + (3; 2015) + . . . + (2014; 2015) + (2015; 2015)?$ Témakör: *Algebra (szám, négyzet) (Azonosító: AD_20152016_h2k1f3f ) A 2025-re igaz, hogy 2025 = (20 + 25)2. Van-e még ilyen négyjegy˝u szám? Témakör: *Algebra (számjegy) (Azonosító: AD_20152016_h3k1f5f ) Két pozitív egész szám hasonló, ha – a két szám ( tízes számrendszerbeli alakjában ) ugyanazokat a számjegyeket tartalmazza; – a két számban a közös számjegyek darabszáma azonos; – valamint egyik szám sem tartalmazza a 0-s számjegyet. (Pl. hasonlóak a 1454412, és a 4441125, de hozzájuk nem hasonló az 1245 szám.) Van-e három olyan 2016-jegyű A , B , C szám, hogy A hasonló B -vel, A hasonló C -vel, és C = A + B ? Témakör: *Számelmélet (osztók száma) (Azonosító: AD_20152016_k2kdf1f ) Melyek azok a pozitív természetes számok, amelyek reciprokának tizedes tört alakja véges, és a szám köbének 7-szer annyi osztója van, mint magának a számnak? Témakör: *Algebra (egyenlet, négyzetgyök) (Azonosító: AD_20162017_h1k2f3f ) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{x}{x+\sqrt{x}}}$
Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20172018_k1k2f3f, AD_20172018_k2k2f3f, AD_20172018_k3k1f3f ) Egy iskola igazgatója összehívta az osztályok küldöttjeit (összesen 32 tanulót), hogy választ kapjon az alábbi kérdésekre: a) Kezdődjön-e fél órával később a tanítás? b) Jó lenne-e, ha a testnevelés órák a tízórai szünet előtt lennének megtartva? c) Szeretnék-e a tanulók, ha a rajzórák szerdánként lennének? A szavazásról a következőket tudjuk. A korai testnevelés órákat csak 16-an támogatták, az első kérdésre 17, míg a harmadikra 25 igen szavazat érkezett. Az első kérdésre igennel válaszolók közül 8-an nem akartak korán tornázni, 6-an pedig szerdán rajzolni. Azok, akik a második és harmadik kérdésre is igennel válaszoltak 12-en voltak, de ennek a társaságnak a fele nem szerette volna, ha a tanítás később kezdődik. Hány küldött szavazott minden kérdésre igennel? Hányan szavaztak minden kérdésre nemmel? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: AD_20192020_h2k1f2f ) Dobjunk 5-ször egy szabályos hatoldalú kockával. Dobásainkat írjuk egymás mellé és alkossunk így 5-jegyű számokat. Tekintsük az összes így létrehozható számot. Melyikből van több és miért: azokból a számokból, amelyekben van legalább két azonos számjegy, vagy azokból, amelyekben nincs két szomszédos 6-os számjegy? Témakör: *Kombinatorika (Azonosító: AD_20202021_h2k1f2f ) Egy dobozban 20 golyó található, $ p $ db piros, $ f $ db fehér és $ z $ db zöld színű. Ha a dobozban a fehér golyók számát megdupláznánk, akkor egy piros golyó kihúzásának az esélye $ \dfrac 1 {25} $-del csökkenne. Ha a dobozból minden piros golyót kivennénk, akkor egy fehér golyó húzásának esélye $ \dfrac 1 {16} $-dal 16 nőne. Határozzuk meg $ p, f , z $ értékét. Témakör: *Geometria (Azonosító: AD_20202021_h3k1f3f ) Egy $ 45^\circ $-os szöggel rendelkező $ ABC $ háromszöget az ábra szerint lerajzoltunk egy négyzethálós lapra. Határozzuk meg a háromszög másik két szögét. ($ A $ és $ B $ rácspont.) Témakör: *Számelmélet (Azonosító: AD_20212022_h3k1f3f ) Jelölje $ m(n) $ az $ n $ pozitív egész számnak a $ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 $ osztókkal adott osztási maradékainak összegét. Például $ m(25) = 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 4 + 1 + 7 + 5 = 21 $. Melyek azok az $ n $ kétjegyű pozitív egész számok, amelyekre $ m(n) = m(n + 1) $? Témakör: *Geometria (Azonosító: AD_20212022_k1kdf3f ) A hegyesszögű $ ABC $ háromszögben a $ BC $ oldal felezőpontja $ F $, a $ B $ csúcshoz tartozó belső szögfelező az $ E $ pontban metszi a $ CA $ oldalt, a $ C $ csúcshoz tartozó magasság talppontja $ D $. Az így kapott $ DEF $ háromszög minden oldala $ 5 $ egység hosszúságú. Mekkora az $ ABC $ háromszög területének pontos értéke? Témakör: *Algebra (kombinatorika) (Azonosító: AD_20222023_k2kdf1f ) Az $ (a_n ) $ sorozat tagjait a $ \left\{ 0; 1; 2 \right\} $ halmazból választjuk ki az alábbi szabály szerint:ha $ a_k = j $, akkor $ a_{k+ j} = 0 (k \in \mathbb{N}^+ ) $. Jelölje $ S $ a sorozat első $ 2023 $ tagjának összegét! Határozzuk meg $ S $ lehetséges legnagyobb értékét. Témakör: *Algebra (Azonosító: AD_20232024_h1k1f3f ) Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán. $ x^4 - 11x^2 + 25 = -6x + 9 $
|
|||||
|