1. találat: Kavics Kupa 2016 1. feladat Témakör: *Algebra (számelmélet) (Azonosító: kk_2016_01f ) Peti délelott 9 és 10 óra között ránézett egy hagyományos (mutatós) órára, és érdekes dolgot vett észre: 5 perccel korábban éppen ott járt a nagymutató, ahol 5 perccel késobb a kismutató fog járni. Melyik idopontban nézett Peti az órára? A választ egész percre kerekítve, óópp alakban add meg. Témakör: *Algebra (számelmélet) (Azonosító: kk_2016_02f ) Margitka nagyon sokat telefonál a barátnőivel. Hogy ne legyen túl sok a telefonszámlája, ezért telefonálás közben gyakran ránéz a faliórára. Legutóbb, amikor Juliskát hívta, a következőre lett figyelmes: amikor Juliska felvette a telefont, pontosan 4 óra volt: a nagymutató és a kismutató éppen 120-os szöget zárt be egymással. Amikor letette a telefont, érdekes módon szintén pontosan 120-ot zárt be a két mutató. Legalább mennyibe került Margitkának ez a telefonhívás, ha 23 Ft a percdíja? Témakör: *Algebra (egyenlet, négyzetgyök) (Azonosító: kk_2016_03f ) Meghatározandó a $\sqrt{9+x\sqrt{x^2-108}}=x-3$
egyenlet legkisebb nemnegatív egész megoldása. Témakör: *Geometria (terület) (Azonosító: kk_2016_04f ) Egy trapézt az átlói négy háromszögre osztanak fel. Tudjuk, hogy két szemközti háromszög területe 50, illetve 72 egység. Hány egység a trapéz területe? Témakör: *Algebra (gyök, négyzet) (Azonosító: kk_2016_05f ) Az $x^2+bx+c=0$ egyenlet gyökei kettővel nagyobbak, mint az $x^2+cx+b=0$ egyenlet gyökei. Mennyi $b^2+c^2$ értéke? Témakör: *Algebra ( számelmélet, négyzet, végződés) (Azonosító: kk_2016_06f ) A legkisebb pozitív egész szám, amelynek a négyzete 2 darab négyes számjegyre végződik, a 12 (a négyzete 144). Melyik pozitív egész a második legkisebb olyan négyzetszám alapja, amely 3 darab négyes számjegyre végződik? Témakör: *Kombinatorika ( sokszög, átló) (Azonosító: kk_2016_07f ) Adott egy konvex 12-szög, oldalai különböző hosszúak. Hányféleképpen lehet a csúcsaiközül ötöt kiválasztani úgy, hogy az ezek által meghatározott konvex ötszög mindegyik oldala a 12-szögnek átlója legyen? Témakör: *Kombinatorika (minimális) (Azonosító: kk_2016_08f ) Egy n tagú választó testület három jelölt közül választ. Mindegyikük rangsorolja őket, az elsőnek 3, a másodiknak 2, a harmadiknak pedig 1 pontot ad. Összesítve a jelöltek pontszámát kiderült, hogy a sorrend egyértelmü, hármuk pontszáma különböző. A testület egyik tagja észrevette, hogy ha a választást úgy bonyolították volna le, hogy mindannyian csak az elsőként rangsorolt jelöltjüknek adtak volna 1 pontot, akkor a jelöltek sorrendje megfordulna. Mi az a legkisebb n érték, amelyre ez előfordulhat? Témakör: *Kombinatorika (minimális) (Azonosító: kk_2016_09f ) Egy mértani sorozat első néhány tagjának összege 11, négyzetösszegük 341, köbösszegük 3641. Határozzuk meg a szorzatukat. Témakör: *Kombinatorika (minimális) (Azonosító: kk_2016_10f ) Egy 100 km hosszú utat bejáró busz fedélzeti számítógéppel rendelkezik, amely kiszá- molja, mennyi idő van még hátra a célbaérkezéshez. A számítás azon a feltevésen alapul, hogy a busz átlagsebessége a hátrelévő szakaszon megegyezik a már megtett szakaszon mért átlagsebességel. Negyven perccel az indulás után a számítógép 1 órának számolja a hátralévő időt. A kiszámolt idő a következő 5 órában nem változik. Hány kilométert tett meg a busz ebben az 5 óraban? Témakör: *Algebra (prím) (Azonosító: kk_2016_11f ) p, q, r és s különböző pozitív prímek, melyekre teljesül, hogy $ 1-\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{q}-\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{s}=-\dfrac{1}{pqes}$
Meghatározandó pqrs legkisebb lehetséges értéke. Témakör: *Geomteria (magasság) (Azonosító: kk_2016_12f ) Az ABC háromszög oldalainak hossza BC = 5, CA = 6 és AB = 7, megfelelő magasságainak hossza ma, mb, mc, magasságpontja M. Meghatározandó az $MA\cdot m_a+MB\cdot m_b+MC\cdot m_c$ összeg értéke. Témakör: *Geomteria (magasság) (Azonosító: kk_2016_13f ) Egy régi óra számlapjáról leestek a számok, csak a 11, a 12 és az 1 maradt a helyén. Visszaragasztottam a többi kilenc számot is, de összevissza sorrendben. Ezután minden szomszéd-párra kiszámoltam a két szám különbségét, majd összeadtam ezt a 12 számot, így 62-t kaptam. Hányféleképpen ragaszthattam vissza a számokat? Témakör: *Kombinatorika (valoszinüség) (Azonosító: kk_2016_14f ) 12 hangya ül egy kocka 12 élének felezőpontjaiban. Egyszerre mindegyik hangya feldob egy-egy pénzt majd az eredménytől függően elindul az él valamelyik végpontja felé. Mekkora a valószínűsége, hogy lesz olyan csúcs, ahol három hangya találkozik? A válasz a kapott tört legegyszerűbb alakjában a számláló és a nevező összege. Témakör: *Geomteria (terület) (Azonosító: kk_2016_15f ) A BAC $ 75^\circ$-os szögtartomány belsejében felveszünk egy P pontot úgy, hogy P pont távolsága az AB egyenestől $ 13+9\sqrt{3}$ míg az AC egyenestől $ 7\sqrt{2}-2\sqrt{6}$. P keresztül húzunk egy egyenest úgy, hogy a lehető legkisebb területű háromszöget vágjuk le a szögtartományból. Mekkora ez a terület? Témakör: *Számelmélet (óra, mutató) (Azonosító: kk_2016_16f ) Mi a legnagyobb k egész szám, amire teljesül, hogy van olyan pillanat, amikor az óra három mutatója közül bármely kettő legalább k fokos szöget zár be egymással. Tegyük fel, hogy a mutatók folytonosan, állandó sebességgel mozognak. Témakör: *Geometria (háromszög) (Azonosító: kk_2016_17f ) Az ABC háromszög oldalainak hossza BC = 2, AC = 5, AB = $\sqrt{39}$. Megrazoljuk az A középpontú, AC sugarú kört és a B középpontú, BC sugarú kört, melyek C -től különböző metszéspontja legyen D . Egy D-n keresztül húzott egyenes az előbb tekintett két kört D -n kívül E-ben és F-ben metszi. Húzunk E-ben és F-ben érintőket a megfelelő körhöz: ezek az érintők G-ben metszik egymást. A CG egyenes második metszéspontja az ABC háromszög körülírt körével legyen H. Határozd meg GH2 értékét Témakör: *ALgebra (számjegy) (Azonosító: kk_2016_18f ) Melyik az a legnagyobb négyjegyű $\overline{abcd}$ szám, amely egyenlő az egész számok összegével $\overline{ab}$-től $\overline{cd}$-ig? (Az összegbe $\overline{ab}$ és $\overline{cd}$ is beletartozik, és az utóbbi szám a nagyobb.) Témakör: *ALgebra (trigonometria) (Azonosító: kk_2016_19f ) Számítsd ki a pontos értékét! $(1+4\sin^210^\circ)(1+4\sin^230^\circ)(1+4\sin^250^\circ)(1+4\sin^270^\circ)$
Témakör: *ALgebra (sorozat, rekurzív) (Azonosító: kk_2016_20f ) Hány olyan x1 ; x2 ; x3 ; ... pozitív egészekből álló végtelen sorozat van, amelyre x1 = 1 és az $x_n\cdot x_{n+2}=x^2_{n+1}+5$ egyenlet teljesül minden pozitív egész n esetén. Két sorozatot különbözőnek tekintünk, ha van olyan n , amelyre az n: tagjuk különbözik.
|
|||||
|