Matek portál

Árki Tamás és Hraskó András

Kísérletező geometria

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával

app00201 feladatAdott a síkon a d egyenes és az f kör, valamint a d egyenesre illeszkedő T pont. Szerkesztendő kör, amely d-t és f-et is érinti, méghozzá d-t T-ben.

1. segítség a(z) app00201 feladathozPróbáljuk visszavezetni a feladatot a mdg00101 példára! Ehhez segítséget adhat az mdg00200c feladat.

2. segítség a(z) app00201 feladathozAki ismeri a "pont körre vonatkozó hatványának" és a "hatványvonal" fogalmát az talál olyan pontot, amelynek az f körre és a d egyenest T-ben érintő összes körre vonatkozó hatványa egyenlő.

A(z) app00201 feladat 1. megoldása

Induljunk ki a kész ábrából! Az adott f kör lehet a keresett kör belsejében és külsejében is, ennek megfelelően app00201_01meg_a. és app00201_01meg_b. ábránk kissé eltér egymástól. A keresett kört rajtuk k₁ illetve k₂ jelöli, középpontját Q₁ illetve Q₂ a kör érintési pontját f-fel U₁ illetve U₂. Az adott f kör középpontja F, sugara r.


app00201_01meg_a. ábra	app00201_01meg_b. ábra

Az app00201_01meg_a. ábrán Q₁U₁ = Q₁T, így Q₁T - Q₁F = r. Toljuk el a d egyenest önmagára merőlegesen r távolságnyira Q felé. Kapjuk a d₁ egyenest, rajta T helyett a T₁ pontot. Q₁T₁ merőleges d₁-re és Q₁T₁ = Q₁T -r = Q₁F, azaz Q₁ egyforma messze van az F ponttól és a d₁ egyenestől. Ezt az Q₁ pontot meg tudjuk szerkeszteni (lásd az mdg00101 feladatot), így a k₁ kör is megkapható.

Az app00201_01meg_a. ábrának megfelelő konfiguráció is hasonlóan rekonstruálható, csak d-t Q-val ellenkező irányba kell tolni.

A szerkesztés lényege tehát az, hogy a d egyenest önmagára merőlegesen mindkét irányban eltoljuk r távolságnyira és a kapott d₁ illetve d₂ egyenessel továbbá az f kör F középpontjával megoldjuk az mdg00101 feladatot. Az így kapott kör középpontját növeljük vagy csökkentjük r-rel, aszerint, hogy melyik esetben fogja érinteni d-t. f-et mindkét esetben érinteni fogja, tehát így a feltételeknek megfelelő megoldáshoz jutunk.

Diszkusszió: az mdg00101 feladat diszkussziójához hasonlóan csak azt kell megvizsgálni, hogy az FT_i szakasz felezőmerőlegesének van-e metszéspontja a d_i-re T_i-ben állított merőlegessel.

a) Az egyik irányú eltolásnál nem is jön létre az FT_i szakasz, ha f T-ben érinti d-t. Ilyenkor végtelen sok megoldás van, a d-t T-ben érintő körök bármelyike jó. Minden más esetben létrejönnek a valódi FT_i szakaszok.
b) Az FT_i szakasz felezőmerőlegese pontosan akkor nem metszi a d_i-re T_i-ben állított merőlegest, ha ez a merőleges FT_i-re is merőleges, azaz F illeszkedik d_i-re, tehát f érinti d-t (most nem T-ben). Ilyenkor egy megoldás van, a másik irányban eltolásból származóan.

Minden más esetben két megoldás van.

A(z) app00201 feladat 1. megoldásának 1. megjegyzéseAz 1. megoldásból úgy tűnhet, hogy ha f nem érinti d-t akkor mindig két megoldása van a feladatnak, amelyek közül az egyik belülről, a másik kívülről érinti f-et. Érdemes elgondolkozni rajta, hogy igaz-e ez az állítás.

A(z) app00201 feladat 2. megoldása

Induljunk ki a kész ábrából! Húzzuk meg az adott kör és a keresett kör közös U₂ pontbeli közös érintőjét (lásd az app00201_01meg_c. ábrát)! Messe az érintő a d egyenest H-ban. H-ból a keresett körhöz húzott két érintő egyenlő: HU₂ = HT.

app00201_01meg_c. ábra

H-ból a d-t T-ben érintő összes körhöz ugyanekkora érintő húzható (tudniillik HT). Válasszunk e körök közül egy f-fel egyenlő sugarút (az ábrán f′). Azok a pontok, ahonnan e körhöz ugyanakkora érintő húzható, mint f-hez, az f és f′ szimmetriatengelyén vannak. Ezen az elven H könnyen szerkeszthető.

Ha megkaptuk H-t, akkor csak érintőt kell tőle húzni f-hez és a kapott érintési pontokat f középpontjával összekötő egyenesen lesz a keresett kör középpontja.

A diszkusszióhoz azt kell meggondolni, hogy mikor nem létezik, illetve mikor nem egyértelmű a H pont. Ezt itt nem részletezzük.