Árki Tamás és Hraskó András
Kísérletező geometria
Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával
Először a gördülő kör megjelenítésére készítünk animációt.
A szerkesztés lépései
1. A gördülő kör sugarának felvétele (AB)
2. A rögzített k kör sugarának, amely négyszerese az AB szakasznak, szerkesztése (pl. tükrözések alkalmazásával)
3. A k kör szerkesztése; adott O középponttal, AB sugárral
4.A k körön változó E pont szerkesztése (Euklides-ben az M bázispont körre vonatkozó vetítésével)
5. Az OE szakasz szerkesztése
6. Az E középpontú, AB sugarú kör kimetszi az OE szakaszból a gördülő kör G középpontját
7. A G középpontú, AB sugarú kör szerkesztése
8. A gördülés X „kezdőpontjának” felvétele a k körön (Euklides-ben ezt egy O-n átmenő egyenes metszi ki a körből)
A gördülés kezdetén tehát a generáló kör érintési pontja egybeesik az X ponttal. Ha egy későbbi időpillanatban a generáló kör az E pontban érinti a k kört, és a kezdeti X érintési pont az S pontba fordult el, akkor a gördülés csúszásmentes volta azt jelenti, hogy a k körön mért EX körív, és a generáló körön mért ES körív hossza megegyezik. A két körív hossza tehát megegyezik, ezért a hozzájuk tartozó középponti szögek aránya megegyezik a körök sugarának arányával; vagyis ha , akkor ebből következően . Ez utóbbi összefüggés lehetőséget biztosít az S pont szerkesztéséhez. Az S pont szerkesztéséhez tengelyes tükrözéseket fogunk használni, ezzel biztosítva, hogy a gördülő körben az ES köríven nyugvó középponti szög négyszerese legyen a k körben az EX körívhez tartozó megfelelő középponti szögnek.
9. Az OX szakasz szerkesztése
10. A Q ponton átmenő, az OX szakasszal párhuzamos egyenes szerkesztése
11. Az egyenes, valamint a gördülő kör R metszéspontjának szerkesztése
12. Az E pont tükrözése a QR egyenesre (Z)
13. A QZ egyenes szerkesztése
14. Az R pont tükrözése a QZ egyenesre (W)
15. A QW egyenes szerkesztése
16. A Z pont tükrözése a QW egyenesre (S)
17. Az S pont nyomvonalának szerkesztése (az E pontot kell futtatni a k körön)
Az S pont mértani helye (asztrois003_01meg_a. ábra) megegyezik az asztrois002. feladatban látott görbével. Valóban, az S pont asztroist ír le. Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a kétféle származtatás ugyanazt a görbét eredményezi.
|
asztrois003_01meg_a.
ábra. A kép |