Árki Tamás és Hraskó András

Kísérletező geometria

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával

Főoldal Órák Feladatok Cikkek Fejlesztőknek

bit00202 feladatVizsgáljuk hogyan változik egy egyenesen mozgó pont össztávolsága a sík két adott pontjától!

Precízebben: adott a síkon két pont, A és B, továbbá egy egyenes, e. Az f függvény az e egyenesen értelmezett, P∈e esetén f(P) = PA+PB.
a) Ábrázoljuk az f függvény grafikonját!

Tekintsük azt a speciális esetet, amikor e a derékszögű koordinátarendszer x-tengelye a két adott pont pedig

b) A(0;5), B(6; -2),
c) A(0;1), B(12; 5),
és a grafikon alapján adjunk közelítő értéket a minimumhelyre!

A(z) bit00202 feladat 1. megoldása

A függvényábrázolásokat a Cabri programmal oldjuk meg. A függvény grafikon hajlamos "kilógni" a képernyőről, ezért érdemes egy konstanssal leosztani a függvényt vagy egy konstanst kivonni belőle. A leosztás után nehezebb megtalálni a minimumhelyet, eltűnnek a különbségek. A megfelelő kivonandó konstanst nehéz előre rögzíteni, de van egy természetesen adódó: az AB távolság. Így a függvény értéke nemnegatív marad (háromszögegyenlőtlenség), de közelebb kerül az x-tengelyhez, hasznosabb lesz az ábra. Tehát alább a

g(P) = f(P) - AB = PA + PB - AB
függvény grafikonját ábrázoljuk.
1. A Show Axes opció beállítása (hogy megjelenjenek a koordinátatengelyek);
2. Az A és a B pont felvétele, majd P felvétele az x-tengelyen;
3. A PA, PB, AB távolságok (vagy szakaszhosszak) lekérése ("Distance and length" );
4. A számológép behívása ("Calculate" );
5. A PA+PB-AB kifejezés értékének kiszámolása:
Klikkelünk
5.1. a számológép beviteli mezőjére,
5.2. a PA távolságot jelölő számra,
5.3. a számológép "+" jelére,
5.4. a PB távolságot jelölő számra,
5.5. a számológép "-" jelére,
5.6. a PC távolságot jelölő számra,
5.7. a beviteli mezőtől jobbra álló "=" jelre;
6. Az eredményként kapott számot az egérrel a rajzlapra húzzuk;
7. Merőlegest bocsájtunk P-ben az x-tengelyre ();
8. A kiszámolt PA+PB-AB távolságot rámásoljuk P-ből a 7-ben kapott egyenesre:
Klikkelünk
8.1. a "Measurement Transfer" gombra
8.2. a PA+PB-AB távolságot jelölő számra,
8.3. a P pontra,
8.4. a 7-ben kapott egyenesre P "fölé";
9. Az előbb kapott pontot elnevezzük: g(P), és kirajzoltatjuk a mértani helyét:
klikkelünk
9.1. a "Locus" gombra
9.2. a g(P) pontra,
9.3. a P pontra;
10. Pontosabb kiíratást kérünk:
Klikkelünk a PA+PB-AB távolságot jelölő számra,
majd az "Options" menü "Preferences" alpontjában a "Number of Decimal Places" paramétert "Maximal"-ra állítjuk;
11. Írassuk ki a P pont x-koordinátáját:
klikkeljünk
11.1. az "Equation and Coordinates" gombra
11.2. a P pontra,
11.3. töröljük le a fölösleges zárójeleket és az y-koordinátát.

bit00202_01meg_a. ábra. A kép