Ha A és B az e egyenes ellenkező oldalán vannak (vagy bármelyikük illeszkedik e-re), akkor a minimális távolságösszeget az AB egyenes és e metszéspontjára kapjuk. Valóban (lásd a bit00203_01meg_a. ábrát) erre a P pontra PA + PB = AB, míg a P-től különböző Q pontra az ABQ háromszögre vonatkozó háromszögegyenlőtlenség szerint PA + PB > AB, így az állítás bizonyítást nyert.

bit00203_01meg_a. ábra.	bit00203_01meg_b. ábra.

Ha A és B az e egyenesnek azonos oldalán vannak, akkor tükrözzük egyiküket az e egyenesre. A bit002003_01meg_b. ábrán A-t tükrözésével kaptuk az A′ pontot. Legyen Q az e tetszőleges pontja. A tükrözés miatt AQ=A′Q, így AQ+QB=A′Q+QB. A feladatot ezzel visszavezettük arra az esetre, amikor a két pont az egyenesnek ellenkező oldalán van adva. A minimumhely az A′B, e egyenesek P metszéspontjában lesz. (Másképp: az A′BQ háromszögre is igaz a háromszögegyenlőtlenség.)