Árki Tamás és Hraskó András

Kísérletező geometria

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával

Főoldal Órák Feladatok Cikkek Fejlesztőknek

erint0201 feladatGondolkozzunk el az érintő fogalmán! Mikor mondanánk, hogy egy egyenes
a) érint egy parabolát?
b) érint egy parabolát egy adott pontban?
c) érint egy görbét?
d) érint egy görbét egy adott pontban?
A(z) erint0201 feladat 1. megoldása

Az érintő fogalma meglehetősen nehéz, itt csak egy nagyon rövid bevezetőt adunk. A fogalom azért is nehéz, mert középiskolai szinten még a "görbe" fogalmát is nehéz meghatározni.

Az érintésnek van egy köznapi jelentése is. Valamihez hozzányúlni olyasmit jelent, de nem ugyanazt, mit megérinteni. A megérintés a találkozó kis felületek finom, összesimuló kontaktusát feltételezi.

Matematikai nézőpontból az "érintés" fogalmát érdemes összevetni a "metszés" fogalmával. Mind a kettő megkívánja, hogy az egyenesnek legyen közös pontja a görbével. A "metszés" ennél többet nem is kíván. Az "érintés" a "metszés"-nek egy speciális esete.

A kör a legjobban ismert "görbe". Példája alapján értelmesnek tűnhet az alábbi definíció:

Érintő (I. próbálkozás) Valamely egyenes akkor érint egy görbét, ha pontosan egy közös pontja van vele.
A parabola vezéregyenesére merőleges egyeneseknek mind egy közös pontja van a parabolával, de a köznapi jelentéstartalom szerint ez nem "érintés"-szerű. Ne is fogadjuk el!

A kör példájából szült definíciót megpróbálhatjuk kijavítani.

Érintő (Geometriai definíció, másodrendű görbékre) Valamely egyenes akkor érint egy görbét, ha pontosan egy közös pontja van vele, és az összes többi pontja a görbe külső pontja.
Ez a definíció még mindig nem próbálja megmagyarázni az érintés "finom" jellegét, ráadásul egy még nehezebben értelmezhető fogalmat hoz be: a görbe "külső" pontjának fogalmát. A következőkben tárgyalt görbék, a parabola, ellipszis és hiperbola, tehát az úgynevezett "nemelfajuló másodrendű görbék" vagy "kúpszeletek" esetén ez a definíció hasznos, ráadásul ugyanazokat az egyeneseket adja érintőnek, mint más általánosabb érvényű hasznos definíciók.

Nevezetes tétel az alábbi:

Ha adott egy önmagát nem metsző zárt (tehát önmagába visszatérő) görbe, akkor a sík két részre bontható úgy, hogy két pontakkor és csakis akkor van azonos részben, ha lehet egyiktől a másikig olyan görbét rajzolni, amelynek az adott görbével nincs közös pontja.
A tétel első precíz bizonyítása néhány száz oldalt tett ki. Ez mutatja, hogy a "külső" és "belső" pont fogalmának tisztázása általános keretek között nagyon nehéz lehet. Ez nem jelenti azt, hogy néhány esetben ne lenne egyszerű és természetes a definíció. Kör esetében pl. biztos mindenki ugyanarra gondol: külső pont az, amelyik messzebb van a középponttól, mint a sugár, belső pontpedig az, amely közelebb van a középponthoz a sugárnál.

A külső és belső pont fogalma a parabola esetén is természetes módon származtatható a parabola definíciójából.

Parabola külső és belső pontjai A parabola külső pontjának nevezzük azokat a pontokat, amelyek közelebb vannak a vezéregyeneshez, mint a fókuszhoz; míg a parabola belső pontjai azok a pontok, amelyek közelebb vannak a fókuszhoz, mint a vezéregyeneshez.
Hozzátehetjük: a parabola pontjai azok, amelyek egyikhez sincsenek közelebb.

Ha próbálkozunk bonyolultabb görbéket, pl. spirálokat, rajzolni, akkor észrevesszük, hogy gyakran egy adott ponthoz nincs is olyan egyenes, amelynek csak az a pont lenne közös pontja a görbével. Felmerül, hogy az érintő fogalmát ne a görbe globális tulajdonságaként, hanem csak a görbedarab jellemzőjeként, tehát lokális tulajdonságként értelmezzük. Olyan egyenest keresünk, amely egy adott pont környékén "hozzásimul" a görbéhez, a "lehető legjobban megközelíti" azt.

Felmerül egy fizikusi megközelítés:

A fizikus érintőfogalma Görbe valamely adott pontbeli érintőjén a görbén haladó pontszerű test adott pontbeli pillanatnyi sebesség vektorának egyenesét értjük.

Az analitikus megközelítés másnak tűnik, de ha jobban belegondolunk a pillanatnyi sebesség fogalmába, akkor rájövünk, hogy lényegében ugyanarról van szó.

Analitikus érintőfogalom Görbe valamely adott pontbeli érintőjén annak az egyenesnek a határhelyzetét értjük, amely átmegy a görbe két pontján, miközben a két ponttal az adott ponthoz tartunk.

A síkgörbék jelentős része algebrai egyenlettel (tehát kétváltozós polinom zérushelyeként) is definiálható. Ilyen esetben az egyenes egyenletéből kifejezzük az egyik változót (pl.y-t, így azt kiküszöbölve a görbe egyenletéből egy egyváltozós polinomhoz jutunk (x-ben). E polinom zérushelyei az egyenes és a görbe metszéspontjainak felelnek meg, a zérushelyek a metszéspontok egyik (x) koordinátái. Beszélhetünk arról, hogy egy zérushely, pl. x0, hányszoros gyöke a polinomnak, azaz (x-x0) hanyadik hatványa emelhető ki a polinomból.

Algebrai érintőfogalom Akkor mondjuk, hogy egy adott egyenes egy adott algebrai görbét egy adott pontban érint, ha az egyenes és a görbe közös pontjait adó fenti egyenletnek az adott pont (megfelelő koordinátája) legalább kétszeres gyöke.

Megjegyezzük, hogy az utóbbi három definíció csak vázlat, pl. a görbéknek lehetnek olyan (nem sima) pontjai, ahol nagyobb behézségekbe ütközik az érintő hasznos értelmezése.

Egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy a különböző definíciók ugyanahhoz az érintőfogalomhoz vezetnek (tehát egy egyenes ugyanakkor érint egy görbét az egyik vagy a másik definíció szerint), inkább a matematika egységét mutató "csoda", hogy a görbék széles osztályai esetén valóban egyezés van.

Javaslatok folytatásra a(z) erint0201 feladat után: Az mdg00301, feladatok.