Árki Tamás és Hraskó András

Kísérletező geometria

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával

Főoldal Órák Feladatok Cikkek Fejlesztőknek

feuer001b feladatBizonyítsuk be a feuer001 feladatban megfogalmazott sejtést!
A(z) feuer001b feladat 1. megoldása

Bebizonyítjuk, hogy a két háromszög megfelelő oldalfelező merőlegesei valóban egybeesnek. Ehhez tekintsük a feuer001b_01meg_a. ábrát. Mivel az MA, MC pontokat az M pont tükörképeiként kaptuk, ezért MFC=FCMC, valamint MFA=FAMA, ami azt is jelenti egyben, hogy az FAFC szakasz középvonal az MMAMC háromszögben, és ezért FAFC feleakkora, mint MAMC, továbbá a két szakasz párhuzamos egymással. De az FAFC szakasz az ABC háromszögben is középvonal, és ezért az AC szakasz hossza is kétszerese az FAFC szakasznak, továbbá szintén párhuzamos azzal. Ezek szerint AC és MAMC ugyanolyan hosszúak, továbbá párhuzamosak egymással, vagyis az AMCMAC négyszög paralelogramma.

feuer001b_01meg_a. ábra

Megmutatjuk, hogy az AMCMAC négyszög nemcsak paralelogramma, hanem azon belül téglalap is, amiből már valóban következik, hogy az AC, valamint az MAMC szakaszok felező merőlegese egybeesik. Ehhez tekintsük a feuer001b_01meg_b. ábrát. Az ábrán TB-vel jelöltük az AC oldalhoz tartozó magasságvonal talppontját. Az MB szakasz az FC pontra vonatkozó tükrözés során az AMC szakaszba megy át, ezért , és ezért . Ez utóbbi egyenlőség az ABTB háromszögből azonnal leolvasható.

feuer001b_01meg_b. ábra

Eredményeink alapján az AMCMAC paralelogramma egyik szöge derékszög, ezért a négyszög téglalap. Ebből már következik, hogy az MAMC, valamint az AC szakaszok felező merőlegese egybeesik. Hasonlóan mutatható meg, hogy az MCMAMB, valamint az ABC háromszög többi, megfelelő oldalfelező merőlegesei is egybeesnek, így a két háromszögnek közös a körülírt köre.

A(z) feuer001b feladat 1. megoldásának 1. megjegyzéseA CAMC szögről egyszerűbben is beláthatjuk, hogy derékszög. Ehhez csak azt kell felhasználnunk, hogy az AMC szakasz az MB szakasz tükörképe, valamint hogy a középpontos tükrözésnél szakasz és képe párhuzamos. Ebből következően AMC párhuzamos MB-vel, és így valóban merőleges CA-ra.
A(z) feuer001b feladat 2. megoldása

Azt, hogy az MC pont illeszkedik az ABC háromszög köré írt körre az alábbi módon is igazolhatjuk. A feuer001b_02meg_a. ábra jelölései mellett a CTAMTB négyszög húrnégyszög, hiszen két szemközti szöge 90°-os, ezért . Az FC pontra vonatkozó tükrözés az M pontot az MC pontba viszi át, így a tükrözés szögtartó tulajdonsága miatt , amiből következik, hogy , amit úgy is megfogalmazhatunk, hogy az AMCBC négyszög húrnégyszög. Ekkor persze az A, MC, B és C pontok egy körre illeszkednek, ami szükségképpen egybeesik az ABC háromszög köré írt körrel.

feuer001b_02meg_a. ábra

>
Javaslatok folytatásra a(z) feuer001b feladat után: Az feuer002, feuer003, feuer005, feuer006, feuer007, para001, feladatok.