Árki Tamás és Hraskó András
Kísérletező geometria
Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával
Megmutatjuk, hogy a háromszög magasságpontja, köré írt körének középpontja, valamint súlypontja egy egyenesre illeszkedik. Ezt az egyenest a háromszög Euler-egyenesének nevezzük. Ehhez felhasználjuk a feuer005b feladat eredményeit, mely szerint a háromszög Feuerbach-körét úgy is megkaphatjuk, hogy a körülírt kört felére kicsinyítjük a háromszög magasságpontjából. Ez persze azt is jelenti, hogy a körülírt kör középpontja (O), a Feuerbach-kör középpontja (Q), valamint a magasságpont (M) egy egyenesre illeszkedik (feuer006b_01meg_a. ábra), amelyen a pontok sorrendje: O, Q, M, továbbá MQ=QO.
 |
|
feuer006b_01meg_a. ábra
|
Szintén a feuer005b feladatban mutattuk meg, hogy a háromszög Feuerbach-köre tartalmazza a háromszög oldalfelező pontjait is, amit úgy is megfogalmazhatunk, hogy a Feuerbach-kör nem más, mint a háromszög oldalfelező pontjai köré írt kör. Ugyanakkor a súlypontra vonatkozó (-1/2) arányú középpontos hasonlóság a háromszöget az oldalfelező pontok alkotta háromszögbe viszi át, és így a körülírt kört az oldalfelező pontok köré írt körbe, vagyis a háromszög Feuerbach-körébe viszi át. Mivel pont, képe, valamint a középpontos hasonlóság centruma egy egyenesre illeszkedik, ezért a háromszög körülírt körének O középpontja, S súlypontja, valamint a Feuerbach-kör Q középpontja szintén egy egyenesen helyezkedik el.
Eredményeinket összefoglalva láthatjuk, hogy az O, Q, M pontok, valamint az O, Q, S pontok egy-egy egyenesre illeszkednek. Mivel egy egyenest két pontja már egyértelműen meghatároz, ezért ez a két egyenes egybeesik. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a háromszög köré írt kör középpontja, súlypontja, a Feuerbach-körének középpontja, valamint magasságpontja egy egyenesre, a háromszög Euler-egyenesére illeszkedik.
A fenti bizonyításnak még egy érdekes következményét megemlítjük. A súlypontra vonatkozó (-1/2) arányú középpontos hasonlóság az O pontot a Q pontba viszi át, ezért ha QS=x, akkor SO=2x. A magasságpontra vonatkozó 1/2 arányú középpontos hasonlóság az O pontot szintén a Q pontba viszi át, ezért OQ=3x miatt MO=3x is teljesül. Ebből következően OS:SM=1:2, vagyis a súlypont 1:2 arányban osztja fel a körülírt kör középpontja és a magasságpont közti szakaszt (feuer006b_01meg_b. ábra).
 |
|
feuer006b_01meg_b. ábra
|