Árki Tamás és Hraskó András

Kísérletező geometria

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával

A(z) hipociklois003b feladat 1. megoldása

Megmutatjuk, hogy az EP egyenes valóban merőleges a hipociklois P pontjához húzott érintőjére. Ehhez legyen , ahol T jelöli a gördülés kezdőpontját (hipociklois003b_01meg_a. ábra; az ábrának megfelelően csak arra az esetre szorítkozunk, amikor ez a szög hegyesszög). Ekkor a csúszásmentes gördülés miatt a gördülő körben mért megfelelő EP köríven nyugvó középponti szögre . A P pontra kétféle erő hat; a generáló kör P pontjához tartozó érintő irányába mutató , valamint az E pontban a k körhöz húzott érintő irányába mutató . A hipociklois érintője párhuzamos az  vektorral. A csúszásmentes gördülés pontosan azt jelenti, hogy az  és  vektorok egyenlő hosszúságúak, aminek közvetlen következménye, hogy az  vektor éppen az  és  vektorok által kifeszített rombusz szögfelezőjére illeszkedik.

hipociklois003b_01meg_a. ábra

Nem túl bonyolult, de kissé hosszadalmas szögszámolás következik. Láthatjuk, hogy , továbbá az EQP egyenlőszárú háromszögben  Az  vektor merőleges az EO szakaszra, ezért (ahogy azt az ábrán satírozással jelölt háromszögből is leolvashatjuk) tartóegyenese  szöget zár be a generáló kör PQ sugarával. A  vektor merőleges az QP szakaszra, amiből könnyen adódik, hogy az EP egyenessel bezárt szöge . Végül kiszámoljuk a P kezdőpontba tolt vektorok hajlásszögét;

amiből következik, hogy a megfelelő átlóvektoruk  szöget zár be mindkét vektorral. Ekkor a hipociklois érintője, valamint az EP egyenes által bezárt szögre  adódik. Ezzel igazoltuk, hogy az EP egyenes a hipociklois P pontjához tartozó normálisa.