a)-b) Jelölje a TF szakasz felezőmerőlegesét f, a d-re T-ben állított merőleges egyenest t, t és f metszéspontját P, f egy tetszőleges P-től különböző pontját Q. Meg fogjuk mutatni, hogy P egyforma messze van F-től és d-től, míg Q közelebb van d-hez, mint F-hez. Ezzel az a) és a b) feladatrészt is megoldjuk.

mdg00301_01meg_a. ábra

Az f egyenes minden pontja egyforma messze van F-től és T-től, így Q és P is. A P pont esetében a PT távolság megegyezik a pont és a d egyenes távolságával, hiszen PT merőleges d-re. Tehát P egyforma messze van F-től és d-től.

Tekintsük most a P-től különböző Q pontot. Q-nak a d egyenesre vonatkozó T_Q merőleges vetülete különbözik T-től. A Q pontnak a d egyenestől való távolsága a QT_Q szakasz hosszával egyezik meg, ami rövidebb QT=QF-nél, hiszen a QT_QQ derékszögű háromszögben QT az átfogó, míg QT_Q egy befogó. Tehát Q közelebb van a d egyeneshez, mint az F ponthoz.

c) Az f egyenes két félsíkra osztja a síkot. Az a félsík, amelyben T is van azokból a pontokból áll, amelyek közelebb vannak T-hez, mint F-hez. Mivel bármely pont a d egyenestől legfeljebb olyan messze van, mint a T ponttól, így ennek a félsíknak a pontjai mind közelebb vannak d-hez, mint F-hez. A parabola pontjai tehát mind a másik félsíkban vannak, illetve a parabola egyetlen pontja, P, magán az f egyenesen van.