Árki Tamás és Hraskó András
Kísérletező geometria
Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával
mdg00301b feladatAdott a síkon a 2a sugarú, F1 középpontú d kör, a rá illeszkedő T és a belsejében lévő F2 pont.
a) Mutassuk meg, hogy a TF2 szakasz felezőmerőlegese bármely pontjának az F1, F2 pontoktól
való távolságának összege legalább 2a és egyetlen olyan pont van a felezőmerőlegesen, amelyre a távolságösszeg éppen 2a.
b) Melyik ez a különleges pont a felezőmerőlegesen?
c) Hogyan helyezkedik el egymáshoz képest a felezőmerőleges és az az ellipszis, melynek fókuszai F1 és F2, nagytengelye (lásd az mdg00200 feladat 1. megoldásához fűzött 1. megjegyzést) 2a?
b) Melyik ez a különleges pont a felezőmerőlegesen?
c) Hogyan helyezkedik el egymáshoz képest a felezőmerőleges és az az ellipszis, melynek fókuszai F1 és F2, nagytengelye (lásd az mdg00200 feladat 1. megoldásához fűzött 1. megjegyzést) 2a?
A(z) mdg00301b feladat 1. megoldása
a)-b) Jelölje a TF szakasz felezőmerőlegesét f, a d-re T-ben állított merőleges egyenest t, t és f metszéspontját P, f egy tetszőleges P-től különböző pontját Q.
A T pont az F2 pontnak az f egyenesre vonatkozó tükörképe. A bit00203 feladat megoldása szerint az f egyenesen a P pontnak a legkisebb az F1, F2 pontoktól mért távolságainak összege. A P pontra ez a távolságösszeg
PF1+PF2 = PF1+TF2 = 2a.
Ezzel az a) és a b) feladatrész állítását is bebizonyítottuk.
 |
 |
mdg00301b_01meg_a. ábra
|
mdg00301b_01meg_b. ábra
|
c) Az f egyenes két félsíkra osztja a síkot. Az a félsík, amelyben T is van azokból a pontokból áll, amelyek közelebb vannak T-hez, mint F2-höz. Tehát a T-t tartalmazó félsík tetszőleges S pontjára
F1S + F2S > F1S + TS ≥ F1T = 2a,
ahol az utolsó egyenlőtlenségnél a háromszögegyenlőtlenséget alkalmaztuk a
F1ST háromszögben. A tekintett félsík tehát az ellipszisnek csak külső pontjait tartalmazza (lásd az mdg00200 feladat 1. megoldásának 1. megjegyzésében adott definíciót).
Az ellipszis pontjai és belső pontjai mind a másik félsíkban vannak kivéve az ellipszis egyetlen pontját, ami magán
határoló egyenesen van.
A(z) mdg00301b feladat 1. megoldásának 1. megjegyzéseEnnek a feladatnak és az erint0201 példának a megoldása alapján mondhatjuk, hogy
az FT szakasz felezőmerőlegese az ellipszis P pontbeli geometriai értelmű érintője.
Javaslatok folytatásra a(z) mdg00301b feladat után: Az mdg00302b, feladatok.