Árki Tamás és Hraskó András
Kísérletező geometria
Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával
Először kérdezzük meg a diákokat, hogyan értelmeznék a kardioid belső és külső pontjait, utána térjünk rá az alábbi definícióra. Az érintő értelmezését (tárgyalását lásd később) is vitával, beszélgetéssel készítsük elő.
A kardioid definícióját lásd az szv00301 feladat 1. megoldásának 1. megjegyzésében.
Tekintsük az e kör tetszőleges T pontját, a T középpontú A-n átmenő kT kört és valamely erre illeszkedő P pontot. AP a kT kör húrja, így felezőmerőlegese átmegy T-n. Ha a felezőmerőleges T-ben érinti e-t, akkor definíció szerint P a kardioid pontja, míg ha metszi e-t, akkor belső pont. Tehát a vizsgált kT körök uniója valóban a kardioid pontjai és belső pontjai halmazának része.
|
szv00303_01meg_a. ábra.
|
Másrészt, ha Q tetszőleges pont a kardioidon vagy annak belsejében, akkor az AQ szakasz felezőmerőlegese definíció szerint érinti vagy metszi az e kört. A T érintési vagy metszéspont körüli A-n átmenő körre ilyenkor Q is illeszkedik, tehát a kardioid pontjainak és belső pontjainak halmaza része a vizsgált körök uniójának.
A levezetésből az is kiderült, hogy a kardioid belső pontjain pontosan két T∈ e pont esetén megy át a kT kör, míg a kardioid pontjain egy és csakis egy T∈ e pontra megy át a kT kör.