Árki Tamás és Hraskó András

Kísérletező geometria

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával

Főoldal Órák Feladatok Cikkek Fejlesztőknek

szv00401 feladatMutassuk meg, hogy a kardioid nem szinguláris P pontjában az érintő
a) merőleges a PT egyenesre, ahol T az szv00201 feladatban mozgó k kör és a fix e kör aktuális érintési pontja.
b) átmegy a mozgó k körnek a fix e körrel való T aktuális érintési pontjával átellenes S pontján.
c) az OA szimmetriatengellyel bezárt (az szv00401_fel_a. ábrán θ) szöge (3/2)TOA∠.

szv00401_fel_a. ábra.

A(z) szv00401 feladat 1. előzetes megjegyzése

Mielőtt nekikezdenénk a feladat megoldásának nem árt az érintő fogalmát tisztázni (lásd még az erint0201 feladatot és megoldását).

A kardioid érintője, fizikai megközelítés Azt mondjuk, hogy az f egyenes a P pontban érinti a k kardioidot, ha az szv00201 feladatban a mozgó pont P-beli helyzetében a pillanatnyi sebesség vektora az f egyenesre esik.
A kardioid érintője, geometriai megközelítés Azt mondjuk, hogy az f egyenes a P pontban érinti a k kardioidot, ha P∈ f∩k és P egy környezetében f minden P-től különböző pontja külső pontja a kardioidnak.
Állítás A kardioidnak az A szinguláris pontján kívül mindegyik pontjában egy és csakis egy érintője van a fenti fizikai és geometriai definíciónak megfelelően is, és ez a két érintő mindegyik esetben egybeesik egymással.

Az állítást itt nem bizonyítjuk.

Az szv00101, szv00201 feladatokban és a gyűjtemény számos más feladatában előkerülő görbe a kardioid.

A kardioid definíciója Adott egy kör (e) és annak egy pontja (A). Azon P pontok mértani helyét a síkban, amelyekre a PA szakasz felezőmerőlegese érinti a e kört kardioidnak nevezzük.

A(z) szv00401 feladat 1. megoldása

A mozgás két összetevőből áll. Egyrészt a k kör haladó mozgásából, amely aktuálisan az e (és egyben k) T-beli érintőjének irányában történik, másrészt k forgásából, amely P-ben egy érintőirányú sebességkomponenst eredményez. A két összetevő abszolútértéke egyenlő, ez felel meg a csúszás nélkül gördülésnek. Így eredőjük az irányuk szögfelezőjének irányába mutat. Mivel a két sebességvektor komponens az szv00401_01meg_a. ábrán látható módon felvéve szimmetrikus a TQP szög szögfelezőjére és egyenlő hosszú is, így eredőjük párhuzamos a szögfelezővel. Innen egyszerű geometriai okoskodással igazolható az állítás a), b) és c) része is.

szv00401_01meg_a. ábra.

A(z) szv00401 feladat 1. megoldásának 1. megjegyzése

Két egyenes szögén az egyenesek által bezárt szögek közül a nem tompaszöget szokás érteni. Ettől c)-ben, és később, az szv00601 feladatban és a Morley tétele cikk M.1. Lemmájában eltértünk illetve el fogunk térni, amennyiben a kardioid valamely pontjához tartozó érintőegyenes és a kardioid tengelyének szögéről van szó. Ezen a szögön azt a θ értéket értjük, amelyre AOT∠ = α = 2θ/3, ahol T a P érintési ponthoz, mint a kardioid egy pontjához aktuálisan tartozó mozgó k kör és a fix e kör érintési pontja.

Mivel α értéke 0° -tól 360° -ig nő, így θ értéke a [0 ,540 ) intervallumban bármi lehet. Tehát még körbemegyünk a kardioidon az érintővektor 540° -ot fordul. Mozgó pontunk épp ellenkező irányú sebességgel érkezik vissza az A pontba, mint ahogy elindult és ahogy tovább is kell mennie. Az animáción jól látszik, hogy a mozgó pont A-ban megáll, lassan indul tovább lényegében arról, ahonnan jött.

Megállapításainkból az is következik, hogy bármely iránnyal párhuzamosan pontosan három érintője van a kardioidnak.

Javaslatok folytatásra a(z) szv00401 feladat után: Az szv00401b, szv00402, szv00404, szv00601, feladatok.