Árki Tamás és Hraskó András
Kísérletező geometria
Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával
szv00703_01meg_a. egyenlet
|
Tekintsük a P külső pontból induló félegyeneseket. A PA félegyenesnek és a kardioid belsejének van közös pontja, az ellenkező irányú félegyenesnek pedig nincs közös pontja a kardioiddal és a belsejével sem. Mindezek következnek abból, hogy a kardioid bizonyos A-t tartalmazó szakaszok végpontjaiból, belseje ugyanezen szakaszok belső pontjaiból áll.
Paraméterezzük a félegyeneseket valamely P körüli l kör pontjaival! PA tartozzék az A1=PA∩ l, az ellenkező félegyenes az A0 köri ponthoz. Színezzük az l kör pontjait pirossal és kékkel, az X∈l pont legyen kék, ha a PX félegyenesnek van közös pontja a kardioid belsejével, illetve legyen piros, ha nincs. A kardioid előbb említett leírásából következik, hogy ha X kék, akkor a rövidebb A1X ív pontjai is kékek, míg ha X piros, akkor a rövidebb A0X ív is piros. Tehát a piros pontok is és a kékek is egy-egy ívet alkotnak.
A Dedekind axiómából adódik, hogy a piros és a kék ívnek mindkét A0A1 íven van egy-egy határpontja, B0 és B1. Annak alapján, hogy a kardioidvonal kompakt, és a kardioid belső pontjainak halmaza nyílt halmaz, megmutatható, hogy a PB0, PB1 félegyeneseknek van közös pontja a kardioiddal, de a kardioid belsejével nincs közös pontja. Mivel a kardioid olyan algebrai görbe, amely nem tartalmaz egyenest (így szakaszt sem), ezért a PB0, PB1 félegyenesek csak véges sok közös pontja van a kardioiddal, tehát érintők.