A(z) szv00705 feladat 1. megoldása

A "Morely tétele" cikkben "Morley V. állítása" néven szereplő tételt használjuk.

Legyenek a háromszög oldalegyenesei e₁, e₂ és e₃. Ha e₃ a kettős érintő, akkor az e₂, e₃, e₃, illetve az e₁, e₃, e₃ egyeneshármasok szögharmadolóinak metszéspontját kell tekinteni. Mindkettő szögharmadolóból három van, így 9 metszéspontot kapunk. Ugyanennyit kapunk, ha e₁ vagy e₂ a kettős érintő.

A(z) szv00705 feladat 2. megoldásaLegyenek a háromszög oldalegyenesei e₁, e₂ és e₃. Tegyük rá a kardioidot az e₁ oldalegyenesre, hogy kétszer is érintse. Azután toljuk el úgy, hogy e₂–t is érintse. Ezt háromféleképpen is megtehetjük, hiszen bármelyik iránnyal párhuzamosan három érintője is van a kardioidnak. Ezután nagyítsuk fel a kardioidot az E₃=e₁∩e₂ pontból úgy, hogy érintse e₃-at. Ezt is háromféleképpen tehetjük meg, hiszen az e₃ iránnyal párhuzamosan is három érintő van. Innen már adódik, hogy a keresett kardioidok száma 3×3×3.

A(z) szv00705 feladat 3. megoldásaEzen kardioidok centrumai a kardioid középpontok alkotta egyenesek metszéspontjaiban vannak (lásd a "Morely tétele" cikkben Morley V. állításának bizonyítását, valamint az szv00702 feladat 1. megoldásának 1. megjegyzését). Három irány mindegyikében három egyenes van, így ezeknek 3×3×3 metszéspontja van.