Árki Tamás és Hraskó András

Kísérletező geometria

Készült a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány (KOMA) támogatásával

Főoldal Órák Feladatok Cikkek Fejlesztőknek

thalesz002b feladatFogalmazzuk meg a thalesz002 feladatban megfogalmazott sejtést!
A(z) thalesz002b feladat 1. megoldása

Megmutatjuk, hogy a PA húr Q felezőpontja illeszkedik az AO szakasz Thalesz-körére. A thalesz002b_01meg_a. ábrán látható POA háromszög egyenlőszárú, hiszen PO és AO is a k kör sugarai, továbbá Q a PA alap felezőpontja, ezért ebben a háromszögben OQ az alaphoz tartozó magasság, és így , ami mutatja, hogy a Q pont valóban illeszkedik az AO szakasz Thalesz-körére.

thalesz002b_01meg_a. ábra

Másrészt e Thalesz-kör minden pontja egy alkalmasan választott P ponthoz tartozó AP szakasz felezőpontja. A Thalesz-kör egy tetszőleges Q pontjához tartozó P pontot úgy szerkeszthetjük meg, hogy az A pontot tükrözzük a Q pontra.

A(z) thalesz002b feladat 2. megoldásaMegmutatjuk, hogy a Q pont illeszkedik az AO szakasz fölé rajzolt körre. Ehhez vegyük észre, hogy a Q pont megegyezik a P pont felére kicsinyített képével az A pontra vonatkozó, (1/2) arányú középpontos hasonlóságban. Mivel a középpontos hasonlóság kört körbe transzformál, ezért a Q pont illeszkedik a k kör felére kicsinyített képére. Ha a P pont épp az A-val átellenes pont, akkor a képe egybeesik a kör O középpontjával, míg ha a P pont egybeesik az A ponttal, akkor képe önmaga, ami mutatja, hogy az AO szakasz valóban átmérő a k kör képében.

thalesz002b_02meg_a. ábra