1.1 Egy cég 10 szériában gyártott egész kg-os súlyokat. Az elsõ szériában 1, a másodikban 2, a harmadikban 3, ... a tizedikben 10 kg-os súlyokat terveztek készíteni. Az azonos szériában készült egyforma súlyokat ugyanabban a ládában tartják, mind a 10 ládára rá van írva, hogy hanyadik szériában készült. Az egyik széria hibás lett, példányai egyforma súlyúak, de ez az érték nem egyezik meg az elõre adott értékkel.
a) Egy kijelzõs mérleg egyszeri használatával kell megtalálnunk, hogy mennyivel nehezebbek vagy könnyebbek a hibás súlyok az elõírtnál.
b) Ezután határozzuk meg, hogy melyik súly szériája lett hibás!
Most is csak a kijelzõs mérleget használhatjuk, és azt is csak még egyszer.
c) Próbáljuk meg általánosítani elõzõ eredményeinket. Fontos volt-e, hogy épp 10 széria volt?
Lényeges-e, hogy rendre épp 1, 2, 3, ... 10 kg-osak a súlyok az egyes szériákban? Fogalmazzuk meg általánosan a feladatot, és adjunk választ az a), b) kérdésekre az általános esetben is!
d) Módosítunk az eredeti feladaton. Tegyük fel, hogy mindegyik súly megfelelõ tömegû (az egyes szériákban rendre 1, 2, ... 10 kg), de elõfordulhat, hogy amikor a ládákat a bennük lévõ súlyok növekvõ sorrendjében betolták a raktárba egymás mellé, akkor két szomszédos ládát felcseréltek. Ezután rakták rájuk sorban a szériaszámokat, amelyek így most növekvõ sorrendben vannak, de lehet, hogy az egyik szomszédos párnál nem a ládában levõ súlyok tömegét jelzik.
Hány méréssel lehet megállapítani, hogy történt-e ilyen tévesztés?

5.1 Számrontó Rezsõnek két módszere van egy szám elrontására. Vagy egy számjegyet tetszõlegesen megváltoztat (pld. 5437→5487), vagy két számjegyet kicserél (pld. 5437→3457). Egyszer véletlenül az asztalon hagytam egy cetlit a másológép négyjegyû belépési számával. Rezsõ ezt meglátta és rögtön átjavította 1323-ra. Szerencsére észrevettem, és visszajavítottam az eredeti számra. De, amikor legközelebb lehetõsége adódott Rezsõ megint elrontotta a cetlin lévõ számot, így most 1213 van ráírva. Mi lehet a másológép belépési száma? Dobos Sándor

5.5 A térbeli sakktáblán a bástya a tábla oldaléleivel párhuzamosan tud lépni. Legfeljebb hány bástya helyezhetõ el a táblán úgy, hogy semelyik kettõ se üsse egymást, ha a tábla
a) 3×3-as?
b) 8×8-as?

5.8 a) Az 1, 2, 3, ... 16 számok közül kell kitalálni egyet barkochba kérdésekkel. Legalább hány kérdésre van szükség?
b) És ha a kérdéseket elõre le kell írni, azaz a következõ kérdés nem függhet az elõzõre kapott választól?

1.2 Egy cég 5 szériában gyártott súlyokat. Az egyes szériákon belül mindegyik súly egyforma tömegû, de nem ismert, hogy mekkorák. Az éppen távol levõ cégvezetõ meg szeretné tudni, hogy milyen tömegû súlyokat gyártottak. Ezért egy mérési ûrlapot küld egyik alkalmazottjának, majd annak kell elvégeznie a méréseket, és visszaküldeni az eredményekkel kitöltött ûrlapot.
Legalább hány mérést kell elvégezni, és mik legyenek ezek a mérések (hogyan töltse ki a cégvezetõ az 1., 2., ..., 5. oszlopokat), ha várható, hogy (legfeljebb) egyszer az alkalmazott hibás értéket ír be a "Mért tömeg" rovatba?
Az ûrlap így néz ki:

Házi feladat (5.8-hoz) Egy mérési tervhez meg kell adni az elõírt mérések számát - a továbbiakban ezt n jelöli - továbbá nemnegatív egész számokkal kell kitölteni az ûrlap 1., 2., 3., 4., 5. oszlopait. Jelölje az így kapott számtáblázat i-edik sorának (i = 1, 2, ..., n) j-edik oszlopába (j = 1, 2, 3, 4, 5) írt számot a_ij (a_ij természetes szám). Tehát a_ij -vel jelölöm az i-edik mérésnél a j-edik szériából vett súlyok számát. Határozzunk meg az  a_ij számokkal kapcsolatos olyan algebrai feltételt, amely azzal ekvivalens, hogy a mérésekbõl meghatározhatók a súlyok (feltéve, hogy legfeljebb egy hibás az eredmények közül).

4.1 (Pálvölgyi Dömötör példája, Bergengóc példatár 2. 237. fel.)
A budapesti telefonszámok hétjegyûek. Sokszor elõfordul, hogy valaki két szomszédos számot felcserél, ezért téves a hívása. Keress minél egyszerûbb eljárást arra, hogy a hétjegyû számok végére még egy ellenõrzõ számot téve, a központ számcsere (két szomszédos felcserélése) esetén jelezni tudja, hogy a szám téves, és ne kapcsoljon!

5.2 Egy hajó és utasai, összesen 100 fõ, Ungabunga szigetén az emberevõk fogságába esett. Tudják, hogy másnap reggel a kannibálok leültetik õket egymás mögé, és mindegyikük fejére egy-egy piros vagy kék sapkát húznak. Mindenki csak az összes elõtte ülõ ember fején lévõ sapkát fogja látni, a sajátját és a mögötte ülõkét nem. A leghátsó embertõl kezdve sorban mindenki hangosan mondhat majd egy színt: pirosat vagy kéket. A végén azt engedik szabadon, aki saját sapkája színét mondta, aki nem találta el, azt bizony megeszik. A kannibálok szigorúak, ha bárki mást tesz, minthogy a lehetõ legegyszerûbben kimondja a "piros" vagy a "kék" szót, akkor senkinek sem kegyel­meznek.
A foglyoknak még egy esélye van. Most este még összebeszélhetnek. Szeretnék, hogy minél többen megszabaduljanak. Hány fogoly tud biztosan megmenekülni?

Könnyítés: oldjuk meg elõbb a feladatot abban az esetben, ha tudjuk, hogy összesen pontosan
a2) két;
a10) tíz;
piros sapka van a 100 között!

5.3 Gondoljuk végig az 5.2 feladatot kettõ helyett három színnel! Minden rab fején háromféle sapka lehet, és mindenki háromféle színt is mondhat.